Corrigé 2 - Datation radiométrique

Q1. Le noyau d'un atome d'azote 14 possède `Z = 7` protons et celui d'un atome de carbone 14 en possède `Z = 6`. Ce sont donc deux éléments chimiques différents, il ne s'agit pas d'isotopes.

Q2. Une désintégration dont la particule émise est un électron (\(_{-1}^{0}\text{e}\)) correspond à de la radioactivité β⁻ (bêta moins).

Q3. Pour évaluer le temps de demi-vie, on regarde la durée nécessaire pour que l'activité de l'échantillon soit divisée par 2, soit `A(t_\text {1/2})=\frac{A_\text{0}}\text {2}`. On a donc \(\frac{A(t_\text {1/2})}{A_0}=\frac{1}{2}=0,5\). Par lecture graphique, on trouve environ `t_{"1/2"}=5\ 700\ "ans"`.

Q4. On vient de voir que, pour que l'activité initiale soit divisée par deux, il faut qu'une durée égale au temps de demi-vie s'écoule. Ainsi, pour que l'activité initiale soit divisée par quatre, il faut attendre à nouveau une durée égale au temps de demi-vie, et donc attendre finalement environ `11\ 400\ "ans"` au total.

Remarque : la lecture graphique n'était pas possible ici puisque les valeurs du temps s'arrêtent à `7\ 000\ "ans"`.

Q5. Dans un premier temps, on calcule le rapport entre l'activité mesurée à l'instant `t` et l'activité initiale : \(\frac{A(t)}{A_0}=\frac{12,8\ \text{Bq}}{13,5\ \text{Bq}}=0,95\). Par lecture graphique, l'abscisse correspondante se situe autour de `400\ "ans"`. Ainsi, ce crâne peut correspondre à une période comprise autour de l'an 1613 (`2013 - 400=1613`). Comme les incertitudes associées aux lectures graphiques réalisées sont grandes, l'ordre de grandeur est compatible (autour de l'an 1600).

Q6. Comme `t_\text {1/2}=\frac{\text {ln}(2)}\{\lambda}`, on a `\lambda=\frac{\text {ln}(2)}\{t_\text {1/2}}`.

Ainsi `A=A_0\times e^{-\frac{ln2}{t_{"1/2"}}\times t}`, soit `e^{-\frac{ln2}{t_{"1/2"}}\times t}=frac{A}{A_0}`.

Pour supprimer la fonction exponentielle à gauche de cette équation, on applique à cette égalité la fonction logarithme népérien, soit : `ln(e^{-\frac{ln2}{t_{"1/2"}}\times t})=ln(frac{A}{A_0})`.

On obtient donc `-\frac{ln2}{t_{"1/2"}}\times t=ln(frac{A}{A_0})`, soit  `\frac{ln2}{t_{"1/2"}}\times t=ln(frac{A_0}{A})` et enfin :

`t=\frac{t_{"1/2"}}{ln2}\timesln(frac{A_0}{A})`.

Q7. On utilise l'expression précédente en insérant les valeurs numériques des grandeurs fournies : 

`t=\frac{5\ 730\ \text{ans}}{ln2}\timesln(frac{13,5\ \text{Bq}}{6,68\ \text{Bq}})=5\ 816\ "ans"`.

On peut estimer que l'âge de la tombe du vizir Hernada est de l'ordre de `5\ 800\ "ans"`.